راهبردهای حل مسأله در ریاضی

مقدمه

مسأله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هر گاه فردی بخواهد کاری انجام دهد ولی نتواند به هدف خود برسد، برایش مسأله ایجاد می شود. به عبارت دیگر هر موقعیت مبهم یک مسأله است. حل مسأله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسأله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است. فرایند برخورد با شرایط زندگی همان مسأله است.
و دیدگاه متفاوت در آموزش ریاضیات نسبت به حل مسأله وجود دارد:
1. ریاضی یاد بدهیم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل کنند.
2. ریاضی را با حل مسأله آموزش دهیم.
در دیدگاه اول آموزش ریاضی مطابق با محتوای موضوعی است و مفاهیم متفاوتی تدریس می شوند. انتظار داریم دانش آموزان با استفاده از دانش ریاضی خود مسائل متفاوت را حل کنند. اما در دیدگاه دوم آموزش ریاضیات از طریق حل مسأله اتفاق می افتد. یعنی دانش آموز مسأله حل می کند و در ضمن آن محتوا و مفاهیم جدید ریاضی را می سازد، کشف می کند و یا یاد می گیرد. در حال حاضر، دیدگاه دوم در آموزش ریاضیات بیش تر مطرح است. در این نگاه حل مسأله نقطه ی تمرکز یا قلب تپنده ی آموزش ریاضیات است.

مهارت حل مسأله

اگر از معلمان ریاضی سؤال شود که مشکل اصلی دانش آموزان در درس ریاضی چیست؟ به یقین خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند.
درمطالعه ی تیمز نیز همین موضوع را شاهد بودیم. چون در اغلب مسأله های آزمون کتبی این مطالعه عملکرد دانش آموزان پایین است. در واقع می توانیم بگوییم دانش آموزان توانایی یا مهارت حل مسأله را ندارند.
یکی از دلایل این ناتوانی، فقدان طراحی برای آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. یا به عبارتی معلمان به آنها یاد نداده اند که چگونه مسأله را حل کنند. هر گاه دانش آموزان با مسأله ای روبروه شده و از حل آن عاجز مانده اند معلمان تنها به بیان راه حل یا پاسخ مسأله اکتفا کرده اند و نگاه های پرسش گر، کنجکاو ومتحیر دانش آموزان با این سؤال باقی مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل کند؟ راه حل مسأله چگونه به فکر او رسید؟ چرا ما نتوانستیم راه حل مسأله را کشف کنیم؟
در خیلی از مواقع معلمانی که سعی کرده اند به طریقی حل مسأله را به دانش آموزان خود یاد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش های نادرست داده اند. برای مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهای مسأله بسیار مهم اند. زیر آن ها خط بکشید. فراموش نکنید که باید از آن ها استفاده کنید. همین آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبی تشخیص ندهند. وقتی مسأله زیربرای دانش آموزان کلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عملیات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت های جمع و تفریق و... نوشتند:
«یک هواپیمای بوئینگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پیاده کرد. حالا این هواپیما چند مسافر دارد؟
یا برای دانش آموزان گفته اند که درمسأله بعضی از کلمه ها بسیار مهم است. برای مثال اگر کلمه روی هم را دیدید مسئله مربوط به جمع است و اگر کلمه ی اختلاف را دیدید حتماً باید تفریق کنید.
به همین دلیل در مسأله زیر که در مطالعه ی تیمز (2003) آمده بود، عده ای از از دانش آموزان کلاس چهارم شرکت کننده. در این مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جای ضرب، جمع کردند.
«در یک سالن سینما 15 ردیف صندلی وجود دارد. در هر ردیف 19 صندلی قرار دارد. این سالن روی هم چند صندلی دارد؟»
بهتر است این روش های آموزش نادرست را به کار نبریم و به دنبال طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان باشیم.

آموزش حل مسأله

آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مسأله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسانها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاش برای حل مسأله به دانش آموزان نمی کرد. اما تعداد کسانی که درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می کنند بیش تر است.
یکی از افرادی که در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق کرد جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب «چگونه مسأله حل کنیم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه ی کتاب خود می گوید: «من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقمندم بدانم چرا من می توانم مسأله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال کرد و مدلی برای تفکر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه کرد. پولیا دو حرف اساسی دارد. 1- مدل چهار مرحله ای برای تفکر حل مسأله 2- آموزش راهبردها که البته نکته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.

مدل چهار مرحله ای پولیا

فرایند تفکر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. پولیا تلاش کرده تفکر حل مسأله را به نوعی مدل سازی کند. او الگویی چهار مرحله ای را مطرح کرده است. در فرایند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یک مسأله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله ای او به این مشکل است:
1- فهمیدن مسأله
گام اول حل مسأله فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد، مسأله وقتی مسأله است که نکته ای برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله یعنی تشخیص داده ها و خواسته های آن و درک ارتباط بین آن ها. فهم یک مسأله در واقع بخش اصلی فرایند حل مسأله است. مسأله های پیچیده حل نمی شوند. چون اغلب در فهم آن ها مشکل داریم.
اغلب دانش آموزان در فهمیدن مسأله اشکال دارند. یکی از دلایل آن اشکال در درک مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان می توانند برای طی کردن این گام، سؤال های گوناگونی مطرح کنند به نمونه های زیر توجه کنید:
داده های مسأله چیست؟
خواسته های آن کدامند؟
مسأله را به صورت خلاصه بیان کنید.
مسأله را به زبان و بیان خود توضیح دهید و دوباره تکرار کنید.
مسأله را به صورت نمایشی اجرا کنید.
مسأله را با شکل ها و یا اشیاء مدل سازی کنید.
آیا معنی واژه ها، لغات و اصطلاحات به کار رفته در مسأله را می دانید؟
سؤال ها و توصیه هایی از این دست کمک می کنند، دانش آموز در مورد مسئله بهتر فکر کند و معلمان نیز مطمئن شوند که آن ها مسأله را درک کرده اند.
2- طرح ریزی کردن
در این طرح مسأله از ابعاد متفاوت ریاضی بررسی می شود. یعنی تعیین این که مسأله به کدام یک از شاخه های هندسه، کسر، جبر، و... مربوط است. چگونه می توان آن را مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد برای حل ان مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این افت و برگشت تا پیدا کردن یک راه حل مناسب ادامه می یابد.
در آموزش عمومی (ابتدایی – راهنمایی) آن چه بیش تر از همه برای دانش اموزان معنی دارد، تشخیص روش یا راهبرد مناسب برای حل مسئله است. به همین دلیل این گام را به انتخاب راهبرد می شناسیم. راهبرد یعنی یک روش یا راه حل عام که در بسیاری از مسائل کاربرد دارد.
آموزش راهبردهای حل مسأله، در واقع مهم ترین بخش حل مسأله است که برای آموزش هنر حل مسأله راهی به دانش آموزان نشان می دهد و آشکار می سازد.
در ادامه این بحث به توضیح راهبردهای مورد نظر در آموزش عمومی می پردازیم. در واقع بررسی راهبردهای متعدد برای حل این مسأله مهم ترین اقدامی است که دانش آموز برای حل آن انجام می دهد.
3. حل مسأله
در گام سوم، وقتی راهبرد مناسب برای حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام می کنیم، هنگام حل مسأله ممکن است به این نتیجه برسیم که راهبرد انتخاب شده مناسب نیست و به حل مسأله منجر نمی شود. بنابراین باید به گام دوم برگردیم و راهبرد تغییر دهیم. یا حتی مجبور شویم برای فهمیدن بخش هایی از مسأله به گام اول برگردیم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عملیات و عبارت های ریاضی نیست، گاهی با انتخاب راهبرد، رسم شکل و کشیدن یک شکل مناسب مسأله به طور کامل حل می شود و دیگر نیازی به نوشتن عملیات نیست. یا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمایش آن، خواسته ی مسأله را مشخص می کند. در حالی که عملیات و راه حل مستقیمی برای رسیدن به جواب ننوشته ایم.
4. نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش آموزان و معلمان طی نمی کنند. به عبارت دیگر پیدا کردن پاسخ و حل ریاضی مسأله را پایان کار می دانند در حالی که در فرایند حل مسأله گام نگاه به عقب اهمیت زیادی دارد. این مرحله جلوه ها و معنی های متفاوتی دارد. تفسیر و ترجمه ی جواب ریاضی مسأله در دنیای واقعی، بررسی منطقی بودن پاسخ و این که جواب به دست آمده همان خواسته ی مسأله است یا نه بررسی صحت عملیات انجام شده بررسی مجدد مراحل مسأله، تطبیق شرایط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسی مسأله با یک راهبرد یا راه حل دیگر و در نظر گرفتن سایر حالتها و شرایط برای مسأله، نمونه هایی از کارهایی هستند که می توان در گام آخر انجام داد.

راهبردهای حل مسأله

همان طور که اشاره شد، آموزش راهبردها مهم تر از تأکید به مدل 4 مرحله ای است. در واقع آموزش راهبردها، مهم ترین قسمت آموزش هنر حل مسأله است.
چند نکته:
1- زمانی که آموزش یک راهبرد مورد نظر است، از دانش آموزان می خواهیم، مسأله های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل کنند تا با آن به طور کامل آشنا شوند. اما با گذاشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آن ها می توانند از هر راهبردی که مایل هستند مسأله را حل کنند. به این ترتیب، یک مسأله می تواند با راهبردهای متفاوت درکلاس حل شود. در صورتی که این اتفاق درکلاس بیفتد باعث خوش حالی و سربلندی معلم خواهد شد.
2- آموزش راهبرد یعنی فراهم کردن شرایط و موقعیتی که دانش آموز درک کند، راهبرد مورد نظر برای حل مسأله کارآیی دارد.
3- تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفکر و خلاقیت دانش آموز خواهد شد. در این جا چند راهبرد بررسی می شوند:
الف: راهبرد رسم شکل: طبیعی ترین راهبردی که به ذهن دانش آموز می رسد رسم شکل است. بسیاری از مسائل با کشیدن ی شکل مناسب یا مسأله به طول کامل حل یا راه حل آنها آشکار می شود. اغلب معلمان این راهبرد (راه حل) را در حل مسأله ها از دانش آموزان نمی پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی کم کم کنار گذاشته می شود. مثال زیرنشان می دهد، چگونه می توان از این راهبرد در حل مسأله ای استفاده کرد.
«در یک مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد. تعداد پاهای آن ها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارد؟»
این مسأله با استفاده از راهبردهای رسم شکل، با اطلاعات دانش آموزان کلاس دوم دبستان قابل حل است.
ابتدا 20 دایره به جای سرها می کشیم. برای هر کدام 2 خط (2پا) درنظر می گیریم تا این جا می شود 40 پا، 16 پای باقیمانده را با اضافه کردن 2 تا 2 تا رسم می کنیم.
ب) راهبردهای زیر مسأله: مسأله های پیچیده و چند هدفی معمولاً از چند مسأله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک مسأله و یا زنجیره ای از زیر مسأله ها به حل مسأله اصلی منجر می شوند. تشخیص زیر مسأله ها و حل آنها، راهبرد مهمی برای حل مسأله های ترکیبی است. مسأله زیر با استفاده از این راهبرد حل شده است:
- «رضا 37 عدد گروه جمع کرده است. تعداد گروه های علی 17 تا بیشتر از اوست. این دو نفر روی هم چند گروه جمع کرده اند؟»
این مسأله در واقع از دو مسأله کوچک تشکیل شده است که با حل آن ها می توان پاسخ را پیدا کرد.
تعداد گردوهای علی چند تا است؟
تعدادگردو های رضا و علی روی هم چند تاست؟
پس
تعداد گردو های علی 54=14+37
تعداد گردوهای رضا و علی 91=37+54
در این راهبرد، دانش آموزان باید یاد بگیرند، چگونه زیر مسأله ها را تشخیص دهند. آن ها را جداگانه بنویسد و سپس به حل تک تک آن ها اقدام کنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده تر: گاهی مسأله پیچیدگی هایی دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد. اما وقتی آن را ساده می کنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می شود. وقتی مسأله درحالت ساده تر بررسی شد یا یک الگو یابی می توان آن را به حالت کلی تعمیمی داد. ساده کردن عددها و داده ها نیز بخشی از این راهبرد است. در مسأله زیر با ساده کردن عددها می توان به راه حل نزدیک شد.
«در یک کارخانه، لوله هایی به طول متر تولید می شود. در یک روز 244 عدد لوله تولید شده است. در این روز چند متر لوله تولید شده است؟»
شکل ساده شده ی مسأله چنین است: یک کارخانه لوله هایی به طول 2 متر تولید می کند. اگر 200 عدد لوله تولید شود، چند متر لوله تولید شده است؟ یعنی با تغییر دادن عددها و ساده کردن آن ها، می توان به راه حل مسأله که ضرب است نزدیک شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده ها، فرض ها و اطلاعات مسأله حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ نزدیک می کنیم. حذف حالت های نامطلوب، یعنی کنار گذاشتن حالت هایی که با شرایط و فرضیات مسأله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب که مورد نظر مسأله است. به مثال زیر توجه کنید.
یک بازی دو نفره به این صورت انجام می شود که یک نفر عددی بین 1 تا 100 در ذهن خود مجسم می کند. نفر بعد با سؤال کردن از او، به طوری که فقط پاسخ بلی یا خیر بشنود، باید به عددی دست یابد که در ذهن نفر اول است. سؤال آیا این عدد دو رقمی است مناسب نیست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف می شود و 90 عدد دیگر باقی می ماند.
سؤال آیا این عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت یعنی از حالت ها حذف می شوند. بهترین سؤال برای شروع این است: آیا این عدد بین 1 تا 50 قرار دارد؟ به این ترتیب نیمی از حالت ها حذف می شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدی این است که آیا عدد بین 1 تا 25 است؟ به همین ترتیب، با نصف کردن، عددهای نامطلوب کم کم حذف می شوند تا به عدد مورد نظر دست یابیم.